Введение......5 Глава 1. Формальная аксиоматическая теория......7 1.1. Формализация математических теорий......9 1.2. Понятие формальной аксиоматической теории......11 Темы для самоконтроля......15 Глава 2. Математическая логика......17 2.1. Понятие высказывания......19 2.2. Логические операции математической логики......21 2.3. Формулы алгебры логики......24 2.3.1. Равносильные формулы алгебры логики......27 2.3.2. Дополнительные логические операции......34 2.3.3. Примеры равносильных преобразований формул математической логики......36 2.4. Алгебра логики Буля......39 2.5. Функции математической логики......41 2.6. Произвольная функция алгебры логики в виде формулы математической логики......43 2.7. Закон двойственности......46 2.8. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма......48 2.9. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма. (КНФ и СКНФ)......52 2.10. Проблемы разрешимости......56 2.11. Тавтологии в математической логике......59 Темы для самоконтроля......61 Задачи и упражнения......62 Глава 3. Множества и способы их задания......65 3.1. Основные понятия теории множеств......67 3.2. Виды множеств......68 3.3. Пересечение множеств......73 3.4. Объединение множеств......76 3.5. Разность множеств......80 3.6. Дополнение множества......84 3.7. Взаимосвязь записи высказывания в математической логике и теории множеств......86 3.8. Кванторы общности и существования в случае конечного универсального множества......88 3.9. Бинарные отношения и функции......90 3.10. Взаимно однозначные соответствия и эквивалентные множества......92 3.11. Теорема Кантора и канторовский диагональный метод......97 3.12. Парадоксы теории множеств......100 3.13. Аксиоматическая теория множеств......101 Темы для самоконтроля......103 Задачи и упражнения......104 Глава 4. Классическое исчисление высказываний......107 4.1. Пропозициональные связки и основные логические операции......109 4.2. Основные логические операции и их логический смысл......110 4.3. Понятие формулы исчисления высказываний......113 4.4. Доказуемые формулы исчисления высказываний......116 4.4.1. Логические отношения между формулами......117 4.4.2. Порядок построения доказуемых формул......123 4.5. Правила вывода исчисления высказываний......124 4.6. Производные правила вывода......128 4.7. Понятия выводимости и вывода из совокупности формул......133 4.8. Основные правила выводимости......136 4.9. Примеры доказательства некоторых законов логики......150 4.10. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний......155 4.11. Проблемы аксиоматического исчисления высказываний......166 Темы для самоконтроля......170 Задачи и упражнения......170 Глава 5. Логика предикатов......173 5.1. Основные понятия
связанные с предикатами......175 5.2. Логические операции над предикатами......177 5.3. Понятие формулы логики предикатов......181 5.4. Логическое значение формулы логики предикатов......183 5.5. Предваренная нормальная форма формулы предиката......187 5.6. Общезначимость и выполнимость формул предикатов......190 Темы для самоконтроля......193 Задачи и упражнения......193 Глава 6. Теория алгоритмов......197 6.1. Неформальное понятие алгоритма и его свойства......199 6.2. Разрешимые и перечислимые множества......201 6.3. Вычислимые функции
частично-рекурсивные и общерекурсивные функции......205 6.4. Алгоритм машины Тьюринга......210 6.5. Нормальные алгоритмы Маркова......219 Темы для самоконтроля......222 Задачи и упражнения......223 Глава 7. Использование элементарной алгебры для задач математической логики......225 7.1. Примеры использования выражений элементарной алгебры для решения логических задач и задач алгебры множеств......227 7.2. Решение логических задач с использованием алгебраических выражений......237 7.3. Применение методов математической логики при построении релейно-контактных схем......242 7.4. Синтез элементов цифровой техники с использованием алгебраических выражений......249 7.5. Решение задач алгебры множеств с применением алгебраических выражений......256 Список литературы......259