В учебном пособии представлены материалы по общему курсу математики, который читается учащимся старших классов физико-математического лицея № 1580 при МГТУ им. Н. Э. Баумана в течение ряда лет. В книге содержатся основы теории множеств и математической логики, элементы аксиоматики действительных чисел, начала тригонометрии, теория приближений действительных чисел, комплексные числа, теория пределов, свойства функций, многочлены. Книга завершается доказательством основной теоремы алгебры.Изложение сопровождается примерами. Упражнения помогают эффективно контролировать успешность усвоения учебного материала.Для старшеклассников: учащихся общеобразовательных школ, лицеев, гимназий, колледжей и подготовительных курсов, а также для студентов младших курсов, учителей математики и преподавателей подготовительных курсов.

ПРЕДИСЛОВИЕ......8 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ......11 I. Аксиоматика натурального ряда чисел......12 II. Отношение порядка в натуральном ряде чисел......14 III. Основные понятия и формулы теории множеств......16 IV. Основные понятия и теоремы арифметики......20 IV.1. Делимость целых чисел......20 IV.2. Признаки делимости натуральных чисел на 2
3
4
5
8
9
10
25......23 IV.3. Деление с остатком......24 V. Декартово произведение множеств......25 VI. Соответствие
или бинарное отношение между двумя множествами......26 VII. Виды соответствий. Функциональное соответствие......29 VIII. Суперпозиция отображений......31 IX. Примеры числовых отображений......32 X. Арифметическая прогрессия......35 XI. Геометрическая прогрессия......37 XII. О математическом доказательстве......39 XII.1. Основные понятия логики......41 XII.2. Виды математических теорем......43 XII.3. Схемы доказательства методом «от противного»......45 Коллоквиум по теме: ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ......47 ЧАСТЬ 1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ......49 Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА......49 1.1. Множество рациональных чисел......49 1.2. Сечение на множестве рациональных чисел. Множество действительных чисел......51 1.3. Леммы о рациональных приближениях действительных чисел......54 1.4. Теория десятичных дробей......56 1.5. Непрерывность множества действительных чисел......60 1.6. Границы числовых множеств......62 1.7. Арифметические действия с действительными числами......63 1.8. Типизация числовых систем......66 1.9. Сравнение числовых множеств......69 1.10. Обобщение понятия угла. Числовая окружность......72 Глава 2. СТЕПЕНЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА......76 2.1. Свойства степени числа с целым показателем......76 2.2. Существование и единственность арифметического корня......77 2.3. Свойства арифметического корня......79 2.4. Свойства степени числа с рациональным показателем......80 2.5. Неравенство Бернулли......82 2.6. Степень числа с действительным показателем......83 2.7. Свойства степени числа с действительным показателем......85 2.8. Логарифм числа......88 2.9. Свойства логарифмов......89 2.10. Доказательство классических неравенств......92 Глава 3. НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ......101 3.1. Синус
косинус
тангенс и котангенс числа......101 3.2. Формулы приведения к острому углу......104 3.3. Условные тригонометрические неравенства......108 3.4. Вывод основных тригонометрических формул......110 Дополнение. Аппроксимация действительных чисел......120 Д1. Приближение иррациональных чисел рациональными......123 Д2. Приближенные вычисления на числовой окружности......125 Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (РАСШИРЕНИЕ МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ)......128 4.1. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости......132 4.2. Формула Муавра......135 4.3. Извлечение квадратного корня из комплексных чисел......136 4.4. Из влечение корней из комплексных чисел......138 4.5. Стереографическая проекция на комплексную плоскость......142 4.6. Уравнение прямой и окружности в комплексной плоскости......145 4.7. Преобразование инверсии......146 4.8. Конформные отображения комплексной плоскости......149 Глава 5. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ......152 5.1. Определение предела последовательности......152 5.2. Теоремы о пределах последовательностей......155 5.3. Арифметические теоремы о пределах последовательностей......157 5.4. Признаки сходимости последовательностей......161 5.5. Применение теорем о пределах......163 5.5.1. Основание натуральных логарифмов......163 5.5.2. Пределы некоторых последовательностей......166 5.5.3. Вычисление корня из числа......168 5.5.4. Применение комплексных чисел при вычислении пределов......171 5.6. Принцип вложенных отрезков. Метод Больцано......172 5.7. Теорема Больцано—Вейерштрасса......174 5.8. Фундаментальные последовательности......175 5.9. Типизация множеств точек на числовой прямой и на координатной плоскости......177 5.10. Типизация множеств точек на комплексной плоскости......179 5.11. Теорема Больцано—Вейерштрасса на комплексной плоскости......181 Коллоквиум по теме: ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ......184 ЧАСТЬ 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ......187 Глава 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ......187 6.1. Основные определения......187 6.2. Линейные преобразования графиков функций......189 6.3. Свойство периодичности функции......193 6.4. Четные и нечетные функции. Построение графиков функций и соответствий......198 6.5. Максимум и минимум функции......202 6.6. Наибольшее и наименьшее значения функции......203 6.7. Монотонные функции......208 6.8. Асимптоты графика функции......211 6.9. Свойство обратимости функции......213 6.10. Свойства взаимно обратных функций......214 6.11. Классификация элементарных функций......218 6.12. Функции
заданные неявно......222 6.12.1. Преобразование графиков соответствий......224 Глава 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ......226 7.1. Определение предела функции по Коши......226 7.2. Замечательные пределы......232 7.3. Бесконечно малые функции различных порядков......236 7.4. Вывод формул Эйлера на множестве комплексных чисел......236 7.5. Вывод формулы Виета......239 7.6. Предел монотонной функции......241 7.7. Определение предела функции по Гейне......242 Глава 8. СВОЙСТВО НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ......245 8.1. Теоремы о непрерывных функциях......250 8.2. Признак непрерывности функции......251 8.3. Теоремы о промежуточных значениях функции......253 8.4. Теоремы о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной функции......256 Глава 9. СВОЙСТВО ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ......259 9.1. Основные определения......259 9.2. Признаки выпуклости функции......261 9.3. Неравенство Йенсена......264 Коллоквиум по теме: СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ......272 ЧАСТЬ 3. МНОГОЧЛЕНЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ......275 Глава 10. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ......275 10.1. Действия с многочленами......276 10.2. Теорема Безу. Схема Горнера......280 10.3. Алгоритм Евкида отыскания наибольшего общего делителя многочленов......284 10.4. Свойства и график целой рациональной функции......288 Глава 11. ТЕОРЕМЫ О КОРНЯХ МНОГОЧЛЕНА......291 11.1. Теорема Виета......291 11.2. Корни многочлена с целыми коэффициентами......294 11.3. Различные приемы исследования корней многочлена......296 11.4. Возвратные уравнения......298 11.4.1. Симметрические уравнения......302 11.4.2. Кососимметрические уравнения......304 Глава 12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ......306 12.1. Комплексные функции комплексной переменной......306 12.2. Неограниченность модуля многочлена......307 12.3. Непрерывность модуля многочлена......310 12.4. Доказательства основной теоремы алгебры......311 12.4.1. Доказательство К. Ф. Гаусса......312 12.4.2. Доказательство А. Н. Колмогорова......315 12.4.3. Аналитическое доказательство Ж. Р. Аргана......317 Глава 13. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ АЛГЕБРЫ......321 13.1. Следствия из основной теоремы алгебры......321 13.2. Решение неполных кубических уравнений с действительными коэффициентами......324 13.2.1. Случай трех действительных корней......324 13.2.2. Случай одного действительного и пары комплексно сопряженных корней......326 13.3. Локализация корней многочлена......331 13.4. Установление верхней границы положительных корней многочлена......333 13.5. Теорема Декарта о действительных корнях многочлена......334 Коллоквиум по теме: МНОГОЧЛЕНЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ......339 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......340 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ......344