От редактора......6 Предисловие......7 Часть I: Теория и задачи......9 1. Элементы теории чисел......9 1.1. Целые числа. Делимость и остатки......9 1.2. Уравнения в целых числах......11 1.3. Смешанные задачи на целые числа......14 1.4. Рациональные и иррациональные числа......17 1.5. Сравнение чисел......19 2. Тригонометрические неравенства
обратные тригонометрические функции......23 2.1. Основные свойства арксинуса
арккосинуса
арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями......23 2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями......27 2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства......30 2.4. Смешанные задачи......33 3. Полезные преобразования и замены переменных......34 3.1. Использование формул сокращённого умножения
выделение полного квадрата......34 3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях
неравенствах и системах......39 3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях
неравенствах и системах......42 3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях
неравенствах и системах......46 3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены......50 4. Нестандартные текстовые задачи......53 4.1. Недоопределённые задачи......53 4.2. Неравенства в текстовых задачах......56 4.3. Оптимальный выбор
наибольшие и наименьшие значения......59 5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами......63 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета......63 5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси......67 5.3. Смешанные задачи......73 6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций......75 6.1. Область определения функции
монотонность
периодичность
чётность и нечётность......75 6.2. Множество значений функции
промежутки знакопостоянства и монотонности......78 6.3. Функциональные уравнения и неравенства......83 6.4. Использование графических иллюстраций......89 7. Метод оценок......95 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства......95 7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства......98 7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями......104 8. Задачи на доказательство......106 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство......106 8.2. Метод математической индукции......109 8.3. Доказательство неравенств и тождеств......111 9. Использование особенностей условия задачи......114 9.1. Оптимизация процесса решения
введение функций
искусственное введение параметров
смена ролей параметра и переменной......114 9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным
исследование единственности решения
необходимые и достаточные условия......118 9.3. Редукция задачи и переформулирование условия......123 9.4. Смешанные задачи......127 Часть II: Указания и решения......131 1. Элементы теории чисел......131 1.1. Целые числа. Делимость и остатки......131 1.2. Уравнения в целых числах......138 1.3. Смешанные задачи на целые числа......146 1.4. Рациональные и иррациональные числа......154 1.5. Сравнение чисел......159 2. Тригонометрические неравенства
обратные тригонометрические функции......169 2.1. Основные свойства арксинуса
арккосинуса
арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями......169 2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями......180 2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства......191 2.4. Смешанные задачи......202 3. Полезные преобразования и замены переменных......218 3.1. Использование формул сокращённого умножения
выделение полного квадрата......218 3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях
неравенствах и системах......236 3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях
неравенствах и системах......245 3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях
неравенствах и системах......259 3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены......276 4. Нестандартные текстовые задачи......284 4.1. Недоопределённые задачи......284 4.2. Неравенства в текстовых задачах......293 4.3. Оптимальный выбор
наибольшие и наименьшие значения......300 5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами......312 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета......312 5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси......322 5.3. Смешанные задачи......337 6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций......353 6.1. Область определения функции
монотонность
периодичность
чётность и нечётность......353 6.2. Множество значений функции
промежутки знакопостоянства и монотонности......360 6.3. Функциональные уравнения и неравенства......375 6.4. Использование графических иллюстраций......392 7. Метод оценок......413 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства......413 7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства......422 7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями......442 8. Задачи на доказательство......458 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство......458 8.2. Метод математической индукции......468 8.3. Доказательство неравенств и тождеств......477 9. Использование особенностей условия задачи......491 9.1. Оптимизация процесса решения
введение функций
искусственное введение параметров
смена ролей параметра и переменной......491 9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным
исследование единственности решения
необходимые и достаточные условия......500 9.3. Редукция задачи и переформулирование условия......511 9.4. Смешанные задачи......518 Ответы......527 Литература......536