От редактора......6 Предисловие......7 Часть I. Алгебра......9 1. Элементы теории чисел......9 1.1. Целые числа. Делимость и остатки......9 1.2. Уравнения в целых числах......11 1.3. Смешанные задачи на целые числа......14 1.4. Рациональные и иррациональные числа......17 1.5. Сравнение чисел......19 2. Тригонометрические неравенства
обратные тригонометрические функции......23 2.1. Основные свойства арксинуса
арккосинуса
арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями......23 2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями......27 2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства......30 2.4. Смешанные задачи......33 3. Полезные преобразования и замены переменных......34 3.1. Использование формул сокращённого умножения
выделение полного квадрата......34 3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях
неравенствах и системах......39 3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях
неравенствах и системах......42 3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях
неравенствах и системах......46 3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены......50 4. Нестандартные текстовые задачи......53 4.1. Недоопределённые задачи......53 4.2. Неравенства в текстовых задачах......56 4.3. Оптимальный выбор
наибольшие и наименьшие значения......59 5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами......63 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета......63 5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси......67 5.3. Смешанные задачи......73 6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций......75 6.1. Область определения функции
монотонность
периодичность
чётность и нечётность......75 6.2. Множество значений функции
промежутки знакопостоянства и монотонности......78 6.3. Функциональные уравнения и неравенства......83 6.4. Использование графических иллюстраций......89 7. Метод оценок......95 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства......95 7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства......98 7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями......104 8. Задачи на доказательство......106 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство......106 8.2. Метод математической индукции......109 8.3. Доказательство неравенств и тождеств......111 9. Использование особенностей условия задачи......114 9.1. Оптимизация процесса решения
введение функций
искусственное введение параметров
смена ролей параметра и переменной......114 9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным
исследование единственности решения
необходимые и достаточные условия......118 9.3. Редукция задачи и переформулирование условия......123 9.4. Смешанные задачи......127 Часть II. Геометрия......131 1. Треугольники......131 1.1. Прямоугольные треугольники......131 1.2. Теоремы синусов и косинусов......143 1.3. Биссектриса
медиана
высота......153 1.4. Подобие треугольников......165 1.5. Площадь треугольника......177 2. Окружности......188 2.1. Углы в окружностях......188 2.2. Касательные
хорды
секущие......199 3. Четырёхугольники и многоугольники......211 3.1. Параллелограммы......211 3.2. Трапеции......219 3.3. Общие четырёхугольники и многоугольники......231 4. Задачи на доказательство......245 4.1. Треугольники......245 4.2. Многоугольники......250 4.3. Окружности......253 4.4. Площади......257 5. Задачи на построение......259 5.1. Алгебраический метод......259 5.2. Метод геометрических мест точек......263 5.3. Метод симметрии и спрямления......270 5.4. Метод параллельного переноса......274 5.5. Метод подобия......281 5.6. Метод поворота и смешанные задачи......285 6. Стереометрия......290 6.1. Введение......290 6.2. Многогранники......294 6.3. Тела вращения......300 6.4. Комбинации тел......306 Ответы......308 Литература......324